ころがるコインの安定性 -

転がるコインが倒れないのは、ジャイロ効果によると説明されるらしいけど、物理のセンス0のわたしにはジャイロ効果の説明を何度読んでもよく分からない。コマの場合と違って、きちんと方程式立てて計算してる文献がなかったので、一通り真面目に計算してみた。

座標として、
The Energy-Momentum Method for the Stability of Nonholonomic System
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.28.482
のFigure1.1で使われてるものを使用。コインの質量をM,半径をRとする。コインの厚みは無視、滑らないで転がると仮定する。

転がらないという条件から、コインと床の接触点Qの移動速度にnon-holonomicな拘束
$\dot{x_Q} + R \dot{\psi} \cos \phi = 0 , \dot{y_Q} + R \dot{\psi} \sin \phi = 0$
がはいる。重心Oについては
$(x_O,y_O,z_O) = (x_Q-R \sin \theta \sin \phi , y_Q + R \sin \theta \cos \phi , R \cos \theta)$
から、重心の運動エネルギーが計算できる。

で、
$(\omega_1 , \omega_2 , \omega_3) = (\dot{\theta} , \dot{\phi} \cos \theta , \dot{\psi} + \dot{\phi} \sin \theta)$
という変数を使うと、Lagrangianが
$L = \frac{MR^2}{2} (\omega_1^2+\omega_3^2) + \frac{1}{2}(A(\omega_1^2+\omega_3^2)+C\omega_3^2)-MgR \cos \theta$
と書ける。A,Cは慣性モーメント。これで、Euler-Lagrange方程式を計算すればよいと思いきや、それは間違った方程式を導くのだった。Euler角がまずいらしいけど、コマの場合とかは問題ないので、何がダメなのかはいまいちよくわからない。

仕方ないので、
http://ds0.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~tsaito/Advanced/PDF/advibration01.pdf
あたりを参考にしつつ、方程式を出す。結論としては、以下の4変数に関する4つの方程式が出る
$\dot{\theta} = \omega_1$
$(1+k)\dot{\omega_1} = -(1+2k)\omega_2\omega_3 +k\omega_2^2 \tan \theta + \frac{g}{R} \sin \theta$
$\dot{\omega_2} = 2\omega_1\omega_3 - \omega_1\omega_2 \tan \theta$
$(1+2k)\dot{\omega_3} = \omega_1\omega_2$

但し、
$(A,C)=(kMR^2 , 2kMR^2)$
とする。kは、1/4と決定できるけど、このままにしておく。

方程式が分かったので、安定性について調べる。
(1) $\dot{\phi}=\dot{\psi}=0$ の場合。コインは全く回転してない。方程式は
$(1+k)\ddot{\theta} = \frac{g}{R} \sin \theta$
となって、 $\theta=0$ は解になるけども、その近傍では不安定。これは当然

(2) $\dot{\psi}=0$ の場合。
$(1+k)\ddot{\theta} = (\frac{g}{R} -(1+k)\dot{\phi} \cos \theta) \sin \theta$
で、安定となりえる。これは、転がらずに、その場でスピンし続ける場合を表していると考えられる。回転速度が十分早ければ、倒れないというのは直感に反しない

(3)一般の場合。
$d/dt = \omega_1 d/d\theta$
から、 $\omega_2,\omega_3$ を $\theta$ の関数として解ける( $s=\tan \theta$ という変数変換をすると、超幾何型微分方程式になる)。で、結局、ある関数Gについて
$\ddot{\theta} = G(\theta)$
という形の方程式が残る。 $\theta$ が小さいと仮定して、Gを展開して、一次の係数の正負を見てやれば、安定・不安定は決定できるはず。

そんな感じだけれども、不満点として、
・方程式の導出が気に入らない
・結局どのへんがジャイロ効果なのかよく分からない。

余談。この変数について、方程式からPoisson括弧を決定しようと思ったけど、挫折。
$\{ \theta , \omega_1 \} = \frac{1}{1+k}$
$\{ \theta,\omega_2 \}=\{\theta,\omega_3\}=0$
$\{\omega_1,\omega_2\} = \frac{\tan \theta}{1+k}\omega_2 - \frac{2}{1+k} \omega_3 + (1+2k)F(\theta)\omega_3$
$\{\omega_2,\omega_3\} = (1+k)F(\theta)\omega_1$
$\{\omega_3,\omega_1\} = \frac{1}{(1+k)(1+2k)}\omega_2 + kF(\theta)\omega_2$
Fは、Jacobi恒等式から定数倍を除いて一意に決定できる関数で、0になると思うのだけど、本当かどうかは分からない。