higher category , homotopy algebra , ∞-groupoid etc..のメモ -

[理念]
等しいかどうかを問わず同型かどうかだけを議論するという圏論の基本的な精神からすると、射の結合則や単位律が等しいという形で定義されているのは問題がある。射の結合則や単位律を同型に置き換えて、それらの同型射が満たすべき基本的な条件(大雑把に言って、freeな圏で、同型を作る2つの方法があったら、それは同じものだという条件)を課すと、bicategoryの定義になる。bicategoryは、2-morphismのレベルでは等号が残っているので、同様の考えを続けていくと、weak n-categoryが得られて、最終的には、(weak) ∞-categoryが必要になる。up-to-homotopyでassociativeというのは、大体こういう状況を指している

#KapranovとVoevodskyは、(explicitに述べられることは滅多にないけど)Main Principle of Category Theoryは、"In any category it is unnatural and undesirable to speak about equality of two objects."だと書いてる(Algebraic Groups and Their Generalizations:Qunatum and Infinite Dimensional Methodsという本の179ページ)

∞-categoryの"正式な"定義は、まだないけども、Hom(x,x)には、up-to-homotopyでモノイド構造が入っていると思える。同様にHom(id_x,id_x)は、Eckmann-Hilton argumentによってup-to-homotopyで可換モノイドになる(同型類を取って射を捨てれば、普通の可換モノイドになって、∞-groupoidの場合は2次のホモトピー群の可換性に対応する)。これはE2 algebra(あるいはhomotopy Gerstenhaber algebra)と呼ばれているものと精神的には同じものを指すと思うけど、実際には、射の構造もあって、"E2 monoidal ∞-category"とか呼ぶ/考えるのが正しい気がする(射の合成がモノイダル積)。"E2 monoidal ∞-category"のような構造に対しては、まだ呼称が完全に定まってないっぽい

#arXiv:0805.0157では、E_1-categoryとかE_2-categoryという呼称が使われてるし、 arXiv:1210.0290では、E_2 monoidal ∞-categoryとかE_1 monoidalという用語が使われている。E_nという名前は、E_n operad(別名little n-cubes operad)から来ている。Wikipediaによれば、Eは"everything" (meaning associative and commutative)らしい。歴史的経緯は不明だけど、最近、数理物理方面でよく見るようになったA_∞なんちゃらは、associatievのAで、C_∞は(滅多に見ないけど)strictly commutativeという意味で用いるらしい

"E2 monoidal ∞-category"は、braided monoidal ∞-categoryと呼ぶべきものと同じであるはず(∞-category同様、braided monoidal ∞-categoryの定義も存在しない)。モノイダル積の可換性を与える同型射がbraidingを与える。通常のbraided monoidal categoryでは、braidingに関するcoherence(hexagon方程式)は等号のレベルで厳密に成立してしまうので、同型に弱めることが当然考えられて、これはKapranov-Voevodskyがbraided monoidal 2-categoryという形で初めて定義を与えた。当然、これもbraided monoidal n-categoryに拡張されるべきで、最終的にbraided monoidal ∞-categoryに到達するはず。E2 monoidalという呼び方に対応させると、Hom(x,x)の構造は、"E1 monoidal ∞-category"と呼ぶべき。E_1 operadは、A_∞ operadと同じもので、up-to-homotopyでassociativeという状況を表すのに使われる。

応用という点から見ると、"E2 monoidal ∞-category"のcoherence条件から、Yang-Baxter方程式(一次元量子系の可解条件)やZamolodchikov's tetrahedron equation(具体例が殆んどないけど、二次元量子系の可解条件と思われてる)が現れる。Yang-Baxter方程式を圏論的に捉えたのは、多分Joyal-Streetで、それを受けてtetrahedron equationを圏論的に理解しようとしたのが、Kapranov-Voevodskyがbraided monoidal 2-categoryを考えた基本的な動機。別に、そういうことを理解したところで、具体的な模型を解く上で役に立つわけではないけど、謎の可解条件の意味を理解する手がかりになるのと、更なる高次元量子系の可解条件を知る指針になる(可積分条件は、Liouvilleの可積分性が有名だけど、一次元量子系ではスペクトルパラメータ付きのR-行列から十分な数の可換な保存量が得られる)

E2があれば、E3,E4,...もあって、Hom(id_{id_x} , id_{id_x})は、"E3 monoidal ∞-category"になるはず。これは、sylleptic ∞-monoidal categoryと同じだと思う。syllepticは、braidingがsymmetricであるという条件を同型に弱めたもの。symmetric ∞-monoidal categoryと呼びたい気もするけど、sylleptic monoidal n-categoryとsymmetric n-categoryは、n=1の時以外は違う概念で、一般にsymmetricという言葉は"maximally commutative"であるという状況を指すのに使われる(braidedは"minimally commutative")。特にsymmetric monoidal ∞-categoryは、E_∞ monoidal categoryと同じものでないといけない。sylleptic monoidal n-categoryがsymmetryであるためには、syllepsisがそのinverseと等しくないといけないけど、この条件は再び同型に弱められる。こうして、monoidal ∞-categoryでは、E3とE_∞の間には、無数の強さの"commutativity"が存在する。直感的に想像できる通り、monoidal n-categoryでは、ある段階以降coherenceが自明になってしまうので、monoidal 1-categoryでは、braidedかsymmetricの2種類の可換性しかなく、monoidal 2-categoryでは、braided/sylleptic/symmetricの3種類の可換性しか現れない。一般に、monoidal n-categoryでは、(n+1)種類の可換性があって、monoidal 0-category=monoidでは、単一の可換性のみがある。

というようなことを、higher categoryの偉い人たちは念頭に置いて活動しているらしい。

Hom(x,x)やHom(id_x,id_x)を単なる代数でなく、圏として見ることは、ちゃんと意味があると思う。∞-groupoidの場合は、これらは、(up-to-homotopyで)pivotal(inverseは線形でないルールで普通のoperadでは扱えず、coherence条件はよく分からないけど、本来は当然考慮されるべき)で、普通のpivotal monoidal categoryと同様トレースが定義できる
$trace: Hom_{Hom(id_x,id_x)}(X,X) \to Hom_{Hom(id_x,id_x)}(id_{id_x} , id_{id_x})$
実際には、pivotalであるだけでなく、sphericalになると思う。Hom(id_x , id_x)はbraidedなので(braided spherical categoryはribbon categoryなので、これは"ribbon ∞-category")、braidingとトレースをホモトピー群に落とすとWhitehead bracketやWhitehead half-square mapを定義できる。球面の場合、Whitehead half-square map $\mathbf{Z} \simeq \pi_2(S~2) \to \pi_3(S^2) \simeq \mathbf{Z}$ は、WM(n)=n^2という関数になる。Whitehead bracket $\pi_2(S^2) \times \pi_2(S^2) \to \pi_3(S^2)$ は、Wh(x,y)=2xyという関数

[未整理かつ未読文献リスト]
・Weak units and homotopy 3-types
http://arxiv.org/abs/math/0602084

・Generalized Centers of Braided and Sylleptic Monoidal 2-Categories
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.50.6033

・On Braidings, Syllepses, and Symmetries
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.51.3774

・Higher-dimensional Mac Lane's pentagon and Zamolodchikov equations
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.26.809

・Conditions of commutativity of transfer matrices on a multidimensional lattice
http://www.springerlink.com/content/q84419w0g975633j/
Yang-Baxter方程式やZamolodhikov tetrahedron equationを、n-simplex equationとして捉えた最初の論文(not 圏論)

・Zamolodchikov's Tetrahedron Equation and Hidden Structure of Quantum Groups
http://arxiv.org/abs/hep-th/0509181
tetrahedron方程式の具体的な解はまだ少ないけど、徐々に研究が進んでいる(not 圏論)

・Higher-Dimensional Algebra I: Braided Monoidal 2-Categories
http://arxiv.org/abs/q-alg/9511013

・Iterated Monoidal Categories
http://arxiv.org/abs/math/9808082
一般に、n-categoryのn-morphismには、n種類の射の合成がある(bicategoryなら垂直合成と水平合成)。Hom(x,x),Hom(id_,id_x),..もそれに応じて、1,2,...種類のモノイダル積がある(interchange ruleの帰結として、これらの同型を与える自然変換が存在するけども)。という状況を表したもの。monoidal 1-categoryでは、kが3以上では、symmetricになって面白くないので、k-fold monoidal n-categoryを考えるのが重要。k-tuply monoidal n-categoryというのもあるらしい(arXiv:q-alg/9503002やarXiv:math/9802029などに厳密な定義なしで述べられている。前者で $\Omega^k S^k$ のhomotopy n-typeは一つの対象で生成されるfree k-tuply monoidal n-groupoidだと書いている)けど、微妙に違うらしい。とにかく、"E_k monoidal n-category"の概念を適切に捕まえることが重要なのだと思う

# $\Omega^k S^k$ が(単一の元で生成される)free k-tuply monoidal ∞-groupoidであるということは、
http://d.hatena.ne.jp/m-a-o/20120728#p2
で書いたことが間違いだってことだと思う。$\pi_3(S^2)$の生成元は、Whitehead half-square mapによって、$\pi_2(S^2)$の生成元から具体的に作ることが出来る(Coqで生成元を具体的に書くことはできるけど、ちゃんと生成元であることの証明が出来てない)。braidingがsymmetricな場合は、Whitehead積が全部消えて、3次ホモトピー群は自明になると思われる。freeであるということは、まあこれがsymmetricになる理由がないということで、あと $\pi_k(S^k)$ は単一の元で生成される自由群(つまり $\mathbf{Z}$ )であることも意味する