rigid category+α -

概念の整理。

0)rigid monoidal category
left dualとright dualを持つmonoidal categoryをrigidと呼ぶ

#A survey of graphical languages for monoidal categories
http://arxiv.org/abs/0908.3347
では、autonomousと呼ばれてるけど、rigidと書いてあることが多い気がする。

1)pivotal category:
rigid monoidal categoryで $A \simeq A^{**}$ が成り立つもの(正確には、もうちょっと条件が付く)
$A^{*}$ は、Aの右双対であると同時に、 $A^{*}$ は $A^{**} \simeq A$ の左双対なので、pivotal categoryでは、右双対と左双対が同一視できる
pivotal categoryには、自然にleft traceとright traceが定義できる

2)spherical category:
pivotal categoryでleft traceとright traceが一致するもの

#traceの定義は、「型」によって2種類ある。素朴なEnd(X)->End(I)という「型」のものと、 $Hom(A \otimes X , B \otimes X) \rightarrow Hom(A,B)$ (right traceの場合)という型のもの。前者は、後者の特殊化だけれども、前者のright traceとleft traceが一致することを意味する。

#spherical categoryの初出は、
Spherical Categories
http://arxiv.org/abs/hep-th/9310164
で、Turaev-Viro理論を定式化しようという試みだったらしい。spherical Hopf algebraの定義もここにある。spherical categoryとそのDrinfeld centerについて、前者のTuraev-Viro theoryと後者のReshetikhin-Turaev theoryは等価になるという予想がある

3)ribbon category:
rigid braided monoidal categoryで、twistという構造を持つもの

#twistはbalancing isomorphismと呼ばれることもある(あった?)。ついでに、ribbon categoryはtortile categoryと呼ばれてることもある

(2012.9.16追記)
ribbon categoryは、braided spherical categoryと同じものなので、そのように定義するのが、分かりやすいように思う。

braided spherical categoryに対して、twistは
$\theta_X = (id_X \otimes \epsilon_{X^{*}}) \circ (c_{X,X} \otimes id_{X^{*}}) \circ (id_X \otimes \eta_{X})$
で定義される。但し $c_{X,X}$ はbraiding、 $X^{*}$ は双対、
$\epsilon_X : X^{*} \otimes X \to I$
$\eta_X : I \to X \otimes X^{*}$
で、途中で、pivotal categoryの定義から従う同型 $X \simeq X^{**}$ を暗に使っている。これは、上に書いた、"partial trace" $Hom(A \otimes X , B \otimes X) \rightarrow Hom(A,B)$ をbraidingに適用したものになっている

twistを持つrigid braided monoidal categoryが、pivotalであることは、braidingとrigidityから
$X \simeq X \otimes (X^{**} \otimes X^{*}) \simeq X^{**} \otimes (X \otimes X^{*}) \simeq X^{**}$
という同型射が作れる。これの前にtwistをくっつけたものは、natural isomorphism $X \simeq X^{**}$ を与える。これから、少なくともleft traceとright traceは作れる。sphericalであることの証明は簡単な計算

以上より、以下の包含関係が成り立つ
・ribbon = braided spherical (=> braided pivotal) => spherical => pivotal (=> rigid traced)

Hopf代数のmoduleの圏は、pivotalではあるけれど、一般にはribbon structureも入らないし、sphericalでもなく、圏の概念に対応して、spherical Hopf algebraとかribbon Hopf algebraとかが定義される。当然、ribbon Hopf algebraはspherical Hopf algebraになる。けど数学では大抵の場合、(abelian) ribbon category+αを考えてれば事足りる気がする

数学の場合、rigidである(どころかpivotalである)ことは基本的な要請であるけれども、プログラムの世界では、rigidであることは特に必須ではないと思う。代わりに(?)、物事は大抵symmetricな世界で話が進む。symmetricだと、そもそも色々な話は極めて簡単。
Traced Monoidal Categories
http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2102776&fulltextType=RA&fileId=S0305004100074338
には、Traced Monoidal Categoryの定義と一般化したGoI構成『braided traced categoryは、ribbon categoryに充満忠実に埋め込める』が証明されているらしい(けど、openな文献ではないので読んでない)。特に、symmetric traced categoryは、symmetric rigid category(= compact closed category)に充満忠実に埋め込める。昔どっかで見た構成をおぼろげに思い出すと、対象をペア(X,A)として、(X,A)から(Y,B)への射を $f:X \otimes B \rightarrow Y \otimes A$ の全体とするような圏を考えると、(X,A)のdualが(A,X)で定義できて、Xを(X,I)に埋め込めてetc..という感じだった気がする。半群から群を作るGrothendieck構成の圏論版みたいな感じだけど、これだと、symmetricな場合、tracedの仮定は要らない気がする。braidedの場合は、twistを定義するあたりに、元の圏のtraceが必要なのかもしれないけど、謎