"中心"とホモトピー群

[Bernstein center]
モノイドや群・環に対して、他の全ての元と可換である元の全体を、中心と呼ぶ。この概念は、圏にも拡張できる

モノイドは、objectが一個しかない圏と同一視できるので、中心を圏論的に構成する方法がないか考えることが出来る。モノイド$M$から$N$への準同型写像は、対応する圏の間のfunctorと同一視できる。$M$から$N$への"functor" $f,g$の間の自然変換は、単に$\forall x \in M,h f(x) = g(x) h$となる元$h \in N$に過ぎない。従って、特に、$M=N$で、$f=g=id_M$である状況を考えれば、$f$から$g$への自然変換は、$M$の中心元と1:1に対応する

というわけで、モノイドの中心は、モノイドを圏として見た時の自己恒等関手のEndo-natural transformationと定義できる。この定義は、通常の圏に対しても有効であるけれども、それはBernstein centerと呼ばれる

[Drinfeld center]
モノイダル圏は、モノイドと似た構造であって、Drinfeld centerというものを定義できる

モノイドの中心の標準的な定義を模倣することを考えると、モノイドの積に相当するものは、モノイダル積なので、単純に、他のobjectとモノイダル積が可換になるようなobject全体を考えたい。一般に圏論をやる場合は、等しいという概念は、同型に弱めないといけない。従って、object $X$が中心に属するという時、適切な同型射$\forall Y,X \otimes \simeq Y \otimes X$があればよいけど、そのような同型射が一意に決まるという保証はないので、objectと同型射のペアを考えてやる必要がある。

次に、モノイダル積の可換性を、どのように特徴付けるか考える必要があるけれど、各種higher categoryで、braidingがEckmann-Hilton argumentを通じて自然に現れる様子を見るに、「可換な」モノイダル圏は、(対称モノイダル圏でなく)braided monoidal categoryと思うのがよい。従って、上の同型射もhexagon axiomを満たすべしと要求することになる(通常のbraidingはbi-naturalであるけれども、上の同型では$X$は固定されているので、ただの自然変換になる)

このようにして作ったDrinfeld centerは、元の圏の部分圏ではないけれども、明らかなモノイダル積の入れ方があり、モノイドの中心はモノイドであるのと同様、Drinfeld centerもモノイダル圏になる。また、モノイドの中心が可換であることの類似として、Drinfeld centerは、braided monoidal categoryになる

モノイドがsingle objectの圏と同一視できたように、モノイダル圏は、single objectのbicategoryと思うことが出来、同様の議論が出来る

[ホモトピー群との類似]
一般に、higher groupoidに対して、ホモトピー群を定義することが出来る(これは、homotopy hypothesisを通じて、CW複体や位相空間の標準的なホモトピー群と繋がっている)
$\pi_1(C , x) = Hom_C(x,x) (x \in Obj(C))$
$\pi_2(C , x) = Hom(id_x,id_x) (id_x \in Hom(x,x))$

#正確には同型類を取る必要がある

この定義は、higher categoryに対しても有効で、"ホモトピーモノイド"が定義できる。高次の"ホモトピーモノイド"は、Eckmann-Hilton argumentにより、ホモトピー群と同様、可換モノイドとなる。

記号を流用すると、$Cat$を、1-categoryの圏とすると、モノイド$M$は、$Cat$のObjectと思うことが出来て、
$\pi_1(Cat , M) = Funct_{Cat}(M,M) = End(M)$
$\pi_2(Cat , M) = End(Id_M) = Z(M)$
なので、モノイドの中心$Z(M)$の可換性は、二次の"ホモトピーモノイド"の可換性の結果と思うことが出来る(別に、そう思ったところで、何か新しいことが分かるわけでもないけど)

モノイダル圏$M$に対して、bicategory$\Sigma M$を
$Obj(\Sigma M) = \{ pt \}$
$Hom_{\Sigma M}(pt,pt) = M$ (1-categoryとしての同型)
とすると
$\pi_1(\Sigma M , pt) = Hom_{\Sigma M}(pt,pt) = Obj(M)$
$\pi_2(\Sigma M , pt) = Hom_{\Sigma M}(id_{pt} , id_{pt}) = Hom_{M}(I,I)$
となって、$End(I)$は、2次の"ホモトピーモノイド"と見なせる。

よく知られているように、$End(I)$は、(テンソル積からくるものと、射の合成から来る二種類の積があって、Eckmann-Hilton argumentにより)可換モノイドとなる。なので、モノイダル圏の$End(I)$の可換性は、再び、高次"ホモトピーモノイド"の可換性の結果といえる。$End(I)$は、特に名前も付いていないけど、これも中心概念の一つといえる

Obj(M)(の同型類)には、モノイダル積とtensor unitによって、モノイド構造が入っている。

[環の中心]
環$A$の中心は、両側A加群の圏$A-bimod$に於ける$A$の自己同型のなす環と同型であり、また、左A加群の圏$A-mod$のBernsiten centerとも同型である。前者は、モノイダル圏の$End(I)$に相当する。後者の系として、「森田同値な環の中心は、環同型」が従う

環$A$の中心$Z(A)$とA加群の圏$A-mod$のBernsiten center$Z(A-mod)$の同型の証明:
・$f \in Z(A-mod)$に対して、$f_A:A \to A$は、$A$加群としての準同型なので、$f_A(x)=x f_A(1)$
・任意の$a \in A$に対して、$g:A \to A$を$g(x) = xa$とすると、$f_A(g(1))=g(f_A(1))$より、$f_A(1)$は$Z(A)$の元
・任意の$A$加群$M$と$m \in M$に対して、$g:A \to M$を、$g(x)=xm$とすると、$f$は自然変換なので、$f_M(m)=f_M(g(1))=g(f_A(1))=f_A(1) m$
・以上から、$f$に$f_A(1)$を対応させることで、全単射$Z(A-mod) \to Z(A)$が得られる。これが準同型なことは明らか

[derived center]
$A-bimod$はアーベル圏であるので、導来圏を考えることが出来る。その時、$End(I)$に対応して、$Ext^{*}(I,I)$を考えることが出来て、これは、Hochschildコホモロジーとなる。中心のderivedバージョンなので、derived centerと呼ばれることがある。Hochschildコホモロジーは(米田積とテンソル積についてEckmann-Hilton argumentを使うことで)graded commutativeになることが言える

そういうわけで、中心と二次のホモトピー群は、殆んど同じものという話。