水素原子の表現論・零(二次元の場合)

水素原子の表現論
http://d.hatena.ne.jp/m-a-o/20140130#p1

で、4次元だと、どうなるか考えたりしたけど、一番簡単な2次元をやってないことに、気付いたので、計算してみた

2次元量子kepler系の束縛状態
http://formalgroup.tumblr.com/post/153902406125/2%E6%AC%A1%E5%85%83%E9%87%8F%E5%AD%90kepler%E7%B3%BB%E3%81%AE%E6%9D%9F%E7%B8%9B%E7%8A%B6%E6%85%8B


普通にやっても面白くないけど、3次元のKustaanheimo-Stiefel変換(KS変換)と類似するLevi-Civita変換があり、調和振動子に帰着させると計算が楽(個人的には、いくつもある計算方法の中で一番簡単な気がする)。Levi-Civita変換では、調和振動子の空間で$O(1)$の作用があって($(u_1,u_2) \to (-u_1 , -u_2)$)、これによって、Levi-Civita変換の行き先は不変に保たれる。そして、O(1)の作用は固有値±1を持ち、シンプレクティック代数の表現空間(振動子表現)も、それに従って既約分解し、その一つ(不変部分を取るので、O(1)作用の固有値+1部分)が水素原子の束縛状態の空間となる。



本編(二次元の場合)終わり。で、3次元に戻ると、KS変換がある。それは例えば
x = 2(u_1 u_3 + u_2 u_4)
y = 2(-u_1 u_4 + u_2 u_3)
z = u_1^2+u_2^2-u_3^2-u_4^2
などと書ける。今度は、4次元空間から3次元空間への写像となっている。KS変換は、3次元球面に制限すると、Hopf写像と同じものになる(S^3のS^2上のHopf fibrationを与える)。

Hopf Map
http://mathworld.wolfram.com/HopfMap.html

また、quaternionで回転行列を書こうとする(つまり、SU(2)をquaternionのノルム1の元と同一視して、SU(2)からSO(3)への準同型を作る)と、行列の成分に、やはり同じ式が出てくるのは、CG関係の仕事とかしてる人は見たことあると思う。他にも

Cayley-Klein parameterの量子化と量子化に関わる諸々
http://d.hatena.ne.jp/m-a-o/20100322#p2

でも、同じ式が出ている。KS変換はどこにでもあるような、ありふれた式と言える



Levi-Civita変換の時と同様、KS変換でも$(u_1,u_2,u_3,u_4)$の取り方には、任意性があり、$u$空間上のある群作用によって、$(u_1,u_2,u_3,u_4)$を動かしても、$(x,y,z)$の値は変わらないということが起きる。二次元Kepler系の場合と違って、今度は、連続群で、$U(1)$と同型になる。連続群なので、無限小変換を考えればいい。生成子は
L = u_1 \frac{\partial}{\partial u_2} - u_2 \frac{\partial}{\partial u_1} - u_3 \frac{\partial}{\partial u_4} - u_4 \frac{\partial}{\partial u_3}
となる。Lをx,y,zに作用させて消えることを確認すればいい(これで尽きるということを言うには、多少議論が必要だけども、省略)


Lは、4次元の調和振動子の波動関数に作用する。調和振動子の波動関数の空間というのは、振動子表現のことといっていい。シンプレクティック代数sp(8,R)の中で、$L$が生成するLie環$u(1)$と交換する代数は$u(2,2)$であり、これは水素原子のspectrum generating algebra$so(4,2)$と$L$自身からなる。これは、Howe dualityの簡単な例となっていて、$(u(1),u(2,2))$はdual pairであるという。特に、Lの作用で消える、調和振動子の波動関数全体が、水素原子の束縛状態の空間であり、$so(4,2)$の極小表現である。$L$の固有値で振動子表現を固有空間分解すると、0以外の固有値に属する固有空間にも$so(4,2)$の作用があり、既約表現を得る。これが、ladder representationというものになる(4次元共形代数の整数helicityを持つmassless既約ユニタリ表現でもある。この場合、Lの固有値はヘリシティの二倍と等しい)。


参考)調和振動子の対称性とspectrum generating algebra
http://d.hatena.ne.jp/m-a-o/20161117#p1


古典論に於いて、Lに対応するのは、調和振動子の相空間への$U(1)$作用に関する運動量写像
\Phi = q_1 p_2 - q_2 p_1 - q_3 p_4 + q_4 p_3 \in Map(T^{*}(\mathbf{R}^4 \backslash \{0\}) \to \mathbf{R})
なので、$L$は量子化運動量写像であるという見方もある。そうすると、水素原子のspectrum generating algebraは、調和振動子の対称性のうち、$U(1)$作用に関する量子化運動量写像と交換するもののみが、(quantum) Hamiltonian reductionの後も残る、という理解になる($L$自身は、水素原子の束縛状態に作用すると0になるので実質的に見えなくなってしまう)

#普通、quantum Hamiltonian reductionという時は、代数の簡約だけを考えて、表現については、何も言わないので、ここの言葉の使い方はあまり正しくはない

#KS変換と、水素原子のspectrum generating algebraは1960年代に見つかっているけど、上のような運動量写像を考えて、Kepler系の相空間を、調和振動子系の相空間のHamiltonian reductionとして理解する、というのは、もうちょっと後の1980年代くらいの論文あたりで普通になっているようである。真面目にsurveyしたわけではないので、もう少し古い論文もあるかもしれないけど、MarsdenとWeinsteinがsymplectic reductionの論文を出したのが1974年らしいから、何となく気付いていた人はいるのかもしれないけど、明確化したのは、それより後じゃないかと思う。振動子表現/Weil表現も、数学の方では、1960年代前半あたりのよう。Howe dualityは1970年代にpreprintを出したけど、完全版が出版されたのは1989年だったらしい(と、Wikipediaに書いてあった)


水素原子のspectrum generating algebraは、原論文を読むと天下り的に出てきた感が強い(とはいえ、本当に何もないところからは出てこない。角運動量とRLベクトルは知られており、一方、動径方向にはsu(1,1)作用があることが知られていたので、それを統一するという視点で得たのでないかと思う)けど、KS変換は、それに比べれば、随分自然にも見える(それで調和振動子に帰着できるというのは、やっぱり不思議なことではあるけど)ので、初学者向けの説明としては、例えば
(1)調和振動子の説明。特に、Heisenberg代数の既約表現とシンプレクティック代数の振動子表現の説明
(2)KS変換による水素原子の束縛状態のエネルギー準位計算
(3)KS変換から量子化運動量写像とspectrum generating algebraを導出
みたいな順序で説明すると、比較的抵抗が少なくて済みそう(表現論前提ではあるので、初めて量子力学を勉強する人向きかどうかは知らないけど)



更に高次元。2次元Kepler系ではLevi-Civita変換ときて、3次元Kepler系ではKS変換と来たけど、4次元Kepler系には、直接の類似物はないっぽい(束縛状態の空間のso(5,2)の既約ユニタリー表現としての構造は別の方法で調べることはできる。任意次元に於けるspectrum generating algebraとKepler系の表現論的記述は、既に知られている)。少し視点を変えると、次に"Hopf fibration"が現れるのはS^7->S^4であり、

参考)Quaternionic Hopf fibrations
https://en.wikipedia.org/wiki/Hopf_fibration#Quaternionic_Hopf_fibrations

5次元Kepler系の相空間が8次元調和振動子のHamiltonian reductionで出ると予想される。ファイバーはS^3であり、これはSp(1)=SU(2)=Spin(3)という群構造を持つ。これは、既に結果が知られている

The geometry of the SU(2) Kepler problem
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/039304409090004M

The Sp(1)-Kepler Problems
https://arxiv.org/abs/0805.0840


試しに少し計算してみると、quaternionic Hopf mapも二次の多項式写像で書けて
x_1 = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 - u_5^2 - u_6^2 - u_7^2 - u_8^2
x_2 = 2(u_1 u_5 - u_2 u_6 - u_3 u_7 - u_4 u_8)
x_3 = 2(u_1 u_6 + u_2 u_5 + u_3 u_8 - u_4 u_7)
x_4 = 2(u_1 u_7 - u_2 u_8 + u_3 u_5 + u_4 u_6)
x_5 = 2(u_1 u_8 + u_2 u_7 - u_3 u_6 + u_4 u_5)
r=|x| = \sum_{i=1}^8 u_i^2
となる。

次の3つの無限小変換で、$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$は消え、これらはLie環$su(2)$と同型な閉じた実Lie環をなす。
D_1 = (u_1 \partial_2 - u_2 \partial_1) - (u_3 \partial_4 - u_4 \partial_3) - (u_5 \partial_6 - u_6 \partial_5) - (u_7 \partial_8 - u_8 \partial_7)
D_2 = (u_1 \partial_3 - u_3 \partial_1) + (u_2 \partial_4 - u_4 \partial_2) - (u_5 \partial_7 - u_7 \partial_5) - (u_6 \partial_8 - u_8 \partial_6)
D_3 = (u_1 \partial_4 - u_4 \partial_1) - (u_2 \partial_3 - u_3 \partial_2) - (u_5 \partial_8 - u_8 \partial_5) - (u_6 \partial_7 - u_7 \partial_6)

確かめていないけど、シンプレクティック代数sp(16,R)の中で、この$D_1,D_2,D_3$と交換するもの全体が、Lie環$so(6,2)$と同型になるのだと思う(上の論文によれば$(su(2),so(6,2))$もdual pair)。一応、Risa/Asirで以下の計算は確認した。

def assert(V){
   if(!V){error(V);}
   return 1;
}


X1 = u1^2 + u2^2 + u3^2 + u4^2 - u5^2 - u6^2 - u7^2 - u8^2;
X2 = 2*(u1*u5 - u2*u6 - u3*u7 - u4*u8);
X3 = 2*(u1*u6 + u2*u5 + u3*u8 - u4*u7);
X4 = 2*(u1*u7 - u2*u8 + u3*u5 + u4*u6);
X5 = 2*(u1*u8 + u2*u7 - u3*u6 + u4*u5);

/*以下は、全部0になる。*/

assert(diff(X1,u1)*u2-diff(X1,u2)*u1-diff(X1,u5)*u6+diff(X1,u6)*u5+( -diff(X1,u3)*u4+diff(X1,u4)*u3-diff(X1,u7)*u8+diff(X1,u8)*u7)==0);
assert(diff(X2,u1)*u2-diff(X2,u2)*u1-diff(X2,u5)*u6+diff(X2,u6)*u5+( -diff(X2,u3)*u4+diff(X2,u4)*u3-diff(X2,u7)*u8+diff(X2,u8)*u7)==0);
assert(diff(X3,u1)*u2-diff(X3,u2)*u1-diff(X3,u5)*u6+diff(X3,u6)*u5+( -diff(X3,u3)*u4+diff(X3,u4)*u3-diff(X3,u7)*u8+diff(X3,u8)*u7)==0);
assert(diff(X4,u1)*u2-diff(X4,u2)*u1-diff(X4,u5)*u6+diff(X4,u6)*u5+( -diff(X4,u3)*u4+diff(X4,u4)*u3-diff(X4,u7)*u8+diff(X4,u8)*u7)==0);
assert(diff(X5,u1)*u2-diff(X5,u2)*u1-diff(X5,u5)*u6+diff(X5,u6)*u5+( -diff(X5,u3)*u4+diff(X5,u4)*u3-diff(X5,u7)*u8+diff(X5,u8)*u7)==0);

assert(diff(X1,u1)*u3-diff(X1,u3)*u1-diff(X1,u5)*u7+diff(X1,u7)*u5-( -diff(X1,u2)*u4+diff(X1,u4)*u2-diff(X1,u6)*u8+diff(X1,u8)*u6)==0);
assert(diff(X2,u1)*u3-diff(X2,u3)*u1-diff(X2,u5)*u7+diff(X2,u7)*u5-( -diff(X2,u2)*u4+diff(X2,u4)*u2-diff(X2,u6)*u8+diff(X2,u8)*u6)==0);
assert(diff(X3,u1)*u3-diff(X3,u3)*u1-diff(X3,u5)*u7+diff(X3,u7)*u5-( -diff(X3,u2)*u4+diff(X3,u4)*u2-diff(X3,u6)*u8+diff(X3,u8)*u6)==0);
assert(diff(X4,u1)*u3-diff(X4,u3)*u1-diff(X4,u5)*u7+diff(X4,u7)*u5-( -diff(X4,u2)*u4+diff(X4,u4)*u2-diff(X4,u6)*u8+diff(X4,u8)*u6)==0);
assert(diff(X5,u1)*u3-diff(X5,u3)*u1-diff(X5,u5)*u7+diff(X5,u7)*u5-( -diff(X5,u2)*u4+diff(X5,u4)*u2-diff(X5,u6)*u8+diff(X5,u8)*u6)==0);

assert(diff(X1,u1)*u4-diff(X1,u4)*u1-diff(X1,u5)*u8+diff(X1,u8)*u5+( -diff(X1,u2)*u3+diff(X1,u3)*u2-diff(X1,u6)*u7+diff(X1,u7)*u6)==0);
assert(diff(X2,u1)*u4-diff(X2,u4)*u1-diff(X2,u5)*u8+diff(X2,u8)*u5+( -diff(X2,u2)*u3+diff(X2,u3)*u2-diff(X2,u6)*u7+diff(X2,u7)*u6)==0);
assert(diff(X3,u1)*u4-diff(X3,u4)*u1-diff(X3,u5)*u8+diff(X3,u8)*u5+( -diff(X3,u2)*u3+diff(X3,u3)*u2-diff(X3,u6)*u7+diff(X3,u7)*u6)==0);
assert(diff(X4,u1)*u4-diff(X4,u4)*u1-diff(X4,u5)*u8+diff(X4,u8)*u5+( -diff(X4,u2)*u3+diff(X4,u3)*u2-diff(X4,u6)*u7+diff(X4,u7)*u6)==0);
assert(diff(X5,u1)*u4-diff(X5,u4)*u1-diff(X5,u5)*u8+diff(X5,u8)*u5+( -diff(X5,u2)*u3+diff(X5,u3)*u2-diff(X5,u6)*u7+diff(X5,u7)*u6)==0);


で、Wikipediaには、もうひとつOctonionic Hopf fibrations S^15->S^8があると書いてある。そうすると、16次元調和振動子から9次元Kepler系への簡約が存在するのか考えたくなる。ファイバーであるところのS^7は、残念ながらコンパクトLie群の構造を持たないので、今までとは違う事情がありそうな感じである。good newsとしては、(9次元Kerpler系のspectrum generating algebraである)so(10,2)がsp(32,R)の部分代数として実現できる(らしい)という事実がある。それで、こういうものも調べた論文があるんじゃないかと思って、ググると、色々見つかったりするもので。

On the SO(10, 2) dynamical symmetry group of the MICZ-Kepler problem in a nine-dimensional space
http://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.3606515

Exact analytical solutions of the Schrödinger equation for the nine-dimensional MICZ-Kepler problem
http://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.4921171?journalCode=jmp

という論文が出ており、9次元Kepler系を16次元調和振動子に帰着して解けるらしい。ただ、内容自体は簡単な計算をしただけ(端的に言って、殆ど何も新しいことはない)のもので、特に"低次元"のKS変換にいたO(1)=Spin(1),U(1)=Spin(2),Sp(1)=SU(2)=Spin(3)に相当するものが、どうなるのかについて情報がなく、相空間の簡約があるのかどうかは不明


#以下の論文によれば、更に高い次元でも類似の構成が存在するらしい(私は、きちんと確認していないので本当かどうかは知らない)。"一般化KS変換"の作り方は、Clifford代数$Cl_{0,n}$の$2^n$次元表現を利用しているように見える(論文の式(3)には、謎の条件Sp(\Gamma_{\lambda})=0というのが付いてるけど、何のことか不明)。論文が正しければ、例えば17次元Kepler系を32次元調和振動子に帰着して解くことができる(so(18,2)がsp(64,R)の部分Lie代数になる?)。しかし、相空間の簡約が存在するのかどうかは分からない。
Theory of the generalized Kustaanheimo-Stiefel transformation
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/037596019390520A


#Hopf fibrationの存在はdivision algebraの存在と関連しているのだと思う(S^15->S^31->S^16というfibrationは存在しないらしい)。一方、一般化KS変換の存在は、もうちょっと広いCayley-Dickson代数というものと関係しているらしい。Cayley-Dickson代数は、通常の実数・複素数・四元数・八元数を含んで、更に16元数(sedenion),etc.と無限に続く。これらの文脈では、Hopf写像と呼ばずに、Hurwitz変換と呼ばれていることが多いっぽい。同じものに、違う名前が一杯ついていて辛い。。とりあえず"Kustaanheimo"のスペルが何回書いても覚えられそうにないので、違う名前を採用して欲しい(まぁ、CFL条件とか、Courant以降誰だっけって感じだけど、CFL条件という名前で覚えているので、KS変換という名前で普及していけば関係ないかもしれない)


#d次元Kepler系のspectrum generating algebraは、D=d+1次元の共形代数で、d=2,3,5,9に対応するのは、D=3,4,6,10である。これらの次元は、SUSY関連ではよく見る。so(10,2)がsp(32,R)の部分Lie環になるというのも、その手の文献に書いてあった(ので、自分では何も確認してない)。これらの次元が重要な理由は、division algebraの存在と関係しているらしい。
super Poincare Li algebra#Lie algebra cohomology
https://ncatlab.org/nlab/show/super+Poincare+Lie+algebra#LieAlgebraCohomology


#KS変換は、(古典力学特に天文周りの文献では)KS正則化という名前で登場することも多い。重力は原点に特異点があり衝突時の計算に問題を引き起こすが、この特異点を何らかの方法で除去することを正則化と呼ぶらしい(量子力学側では、正則化しても表現としては同値になってるので、その観点を強調する意味は薄いかもしれない)。別の方法として、(負エネルギーの)Kepler系を球面上の測地流と"同一視する"というMoserの方法がある(これはKS変換と違って、任意次元で使える)。測地流は量子化すると、ただのラプラシアンである。S^nの共形変換はSO(n+1,1)なので、水素原子(3次元Kepler系)のspectrum generating algebraのうち、so(4,1)までは自然に見える。この方法は量子力学側ではFockによる解法として知られている。Moserの方法で正エネルギー(散乱状態)を扱う場合、hyperboloid上の測地流を扱うことになるようである(量子力学側では、spherical harmonicsの代わりに"hyperbolic harmonics"を考えることになる)
Regularization of kepler's problem and the averaging method on a manifold
http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.3160230406/abstract


##Moserの正則化/Fockの解法の表現論的理解については、以下の論文などを参照
On the dynamical symmetries of the Kepler problem
http://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.524511

Quantization of the Kepler manifold
https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104160353


##so(4,1)の既約表現に実はso(4,2)の作用があるというのは不思議なことで、何でこういうことが起きるのか、よく分からない(似た事例として、Poincare代数のmassless規約ユニタリ表現に共形代数の作用があるというのがある)。Liouville可積分性の立場から見ると、so(4,1)からso(4,2)へ拡大する時、ラプラシアンと交換する作用素が一個増える



最後に、今計算しようという気は全然起きないけど、octonionic Hopf mapの式だけ書いておく。間違えそうなので、Risa/Asirで。

X1 = (u1^2+u2^2+u3^2+u4^2+u5^2+u6^2+u7^2+u8^2)-(u9^2+u10^2+u11^2+u12^2+u13^2+u14^2+u15^2+u16^2);
X2 = 2*(u1*u9-u2*u10-u3*u11-u4*u12-u5*u13-u6*u14-u7*u15-u8*u16);
X3 = 2*(u1*u10+u2*u9+u3*u12-u4*u11+u5*u14-u6*u13-u7*u16+u8*u15);
X4 = 2*(u1*u11-u2*u12+u3*u9+u4*u10+u5*u15+u6*u16-u7*u13-u8*u14);
X5 = 2*(u1*u12+u2*u11-u3*u10+u4*u9+u5*u16-u6*u15+u7*u14-u8*u13);
X6 = 2*(u1*u13-u2*u14-u3*u15-u4*u16+u5*u9+u6*u10+u7*u11+u8*u12);
X7 = 2*(u1*u14+u2*u13-u3*u16+u4*u15-u5*u10+u6*u9-u7*u12+u8*u11);
X8 = 2*(u1*u15+u2*u16+u3*u13-u4*u14-u5*u11+u6*u12+u7*u9-u8*u10);
X9 = 2*(u1*u16-u2*u15+u3*u14+u4*u13-u5*u12-u6*u11+u7*u10+u8*u9);


/*
fctr(X1^2+X2^2+X3^2+X4^2+X5^2+X6^2+X7^2+X8^2+X9^2);
が
[[1,1],[u1^2+u2^2+u3^2+u4^2+u5^2+u6^2+u7^2+u8^2+u9^2+u10^2+u11^2+u12^2+u13^2+u14^2+u15^2+u16^2,2]]
になってれば多分OK
*/