2010-07-20

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食べなければ痩せるというのは、一番簡単なダイエット法ではあるけど、実際のところ、どれくらい痩せるのか物質収支を計算してみる。アトウォーター係数は、糖・タンパクで4kcal/g、脂質で9kcal/g、成人が一日に消費するエネルギーの総量は2000~2500kcal程度らしい。一日に消費するエネルギーが全て糖・タンパクに由来するとすると、大体一日に500~600g程度の重量減ということになる。通常は、これに匹敵する量の食事を摂って平衡が保たれてるはず(物質収支には、水と呼吸という要素もあるけど、これは無視できるとする)。

食事が500~600gというのは、少ないように思うけど、大抵食事には水分が含まれているので、乾燥重量であれば、そんなおかしな数値でもない。例えば、東京のカレー屋もうやんでは、普通盛りがご飯350gで、これは通常のカレー屋の大盛りにあたる量なので、一日に摂取する食事の総重量は1kg前後だろうので、半分が水分なら、まあそんなもん。実際には、脂質由来のエネルギー消費もあるだろうから、一日ご飯を食べないと、400g程度の体重減が見込める。一ヶ月で10kgとちょっと。意外と痩せないもんである。実際に、xx日遭難した人が何kg痩せたみたいなデータがないかと探したけど、見当たらず。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A4%93%E6%AD%BB
には、「水分の補給があれば絶食状態で1〜2ヶ月程度生存でき、この限界を越えれば餓死に至る」とあって、体重60kgの人が2カ月あれば、30kg台になる計算なので、妥当な気がする。

ところで、食べなければ痩せると簡単に言うものの、肥満の人が感じる空腹感は通常人よりずっと強いのかもしれない。満腹感は、脂肪細胞で生産されるレプチンの作用で生み出されるらしいが、多量のレプチンに晒されると、脳がレプチン抵抗性を持つようになって、レプチン中毒状態になるらしい。肥満の人は、脂肪細胞も多いだろうから、"中毒"になりやすいのかもしらん。対策としては、レプチン投与すればいいと思う。ぐぐると、レプチンサプリメントとか売ってるけど、レプチンは150aaのタンパクなので、普通に経口投与しても、胃で分解されてしまう。直接血中に入れる必要がある。ほんとにそれで空腹感が抑えられるか実験はしてない。大量に投与して、脳がレプチン抵抗性を持てば、デブの感じている空腹感を、太らずに体験できるかもしれない。あと、飢餓感を抑制して苦しまずに餓死できるとすると、自殺の方法としてもよいかもしれない。

2010-07-20

Why g〜(π^2)

http://godplaysdice.blogspot.com/2007/09/why-g-2.html

(SI単位系における)重力加速度と円周率の二乗はほぼ等しいけども、それには理由があるという話。随分昔に読んだのだけど今頃になって訳。一部本筋に関係ない部分の訳をはしょった

==================ここから

地球表面に於ける重力加速度は大体9.81m/s^2である。
$\pi^2=9.87$

この2つの数が近い値にあるのは、偶然ではない。

わたしは、Mark Dominusのpost "John Wilkins invents the meter"を読んでこのことに気付いた。1668年、John Wilkinsは"seconds pendulum"、即ち周期が2秒の振り子の長さを以て、1メートルを定義した。これは、大体39.1インチであることが分かった。

現在1メートルは、39.37インチである。

当初は、seconds pendulumの長さが1メートルとなるはずであったが、代わりに北極から赤道までの子午線弧長の1,000万分の1の長さという相当異なる定義が採用された。現在では、1秒間に光がすすむ距離に基づく定義が使われている。Wikipediaによれば、これらの定義は、各々1790,1791,1983年に採用された。後者の2つの間には、更に2つの異なる定義があった。

一般に、振り子の周期は、およそT=2π(L/g)^(1/2)である。ここで、gは重力加速度、Lは振り子の長さ。T=2,L=1とすれば、g=π^2を得る。

わたしが思うに、seconds pendulumによる定義が採用されなかった理由は、上記の公式が振れ幅が小さいという近似に依存しているからだと思われる。つまり、振り子の周期は、実際には、重力加速度と振り子の長さ以外に振れ幅に依存する。正確な公式は、以下で与えられる。
$T = 4\sqrt{L \over g} \int_{0}^{\pi/2} {1 \over \sqrt{1 - \sin^2{{\frac{\theta}{2}}} \sin^2 \phi}} d\phi = 2\pi \sqrt{L \over g} \left( 1 + {1 \over 4} \sin^2 \frac{\theta}{2} + {9 \over 64} \sin^4 \frac{\theta}{2} + \cdots \right)$
従って、主要な誤差は、(1/4)*sin^2(θ/2)で与えられる。例えば、もしθが1度とすると、このずれはおよそ1/50000秒あるいは、一日におよそ2秒となる。この誤差は、そのままメートルの定義における誤差となり、当時のエライ人たちは、これは大きすぎると考えたのだろう。

==================ここまで

John Wilkinsという人物は、日本のWikipediaには記述がなく、「メートル」の項を見ても、そんな人物が関与していたとは書いてないけども、
http://en.wikipedia.org/wiki/John_Wilkins
によると、当時のphilosopherで本を沢山書いたとか、結構名の知れた知識人であったらしい

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%AC%E3%83%AA%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%81%E3%82%A7%E3%83%AC%E3%83%93
には、
『ジョン・ウィルキンズ（John Wilkins）はその著書"Discovery of a New World"でトルコ人たちの飛行の試みに言及している。』
という記述があるのだけど、時代的に同一人物っぽい

追記)単振り子の周期の振れ幅依存性は、サイクロイド振り子を使えば、原理的には解決できる。このことは、17世紀に、ホイヘンスが発見していた。また、2004年に、以下の論文があるのに気付いた。
Why does the meter beat the second?
https://arxiv.org/abs/physics/0412078
18世紀末のメートル法制定時の議論が書いてあり、seconds pendulumは最有力候補だったが、拒否された理由は、長さの単位が時間の単位に依存することになるためと書いてある。サイクロイド振り子ではなく、単振り子を使おうとしていたようで、振れ角による小さな誤差が、問題とされた形跡はない。当時、どこまで精密に長さを測定できたか考えると、ミリメートル程度は可能だったとして、1メートルの1/1000なので、これより小さな誤差は問題にしても、意味がなかっただろう。

seconds pendulumの最大の誤差要因は、重力加速度が(地球の自転による遠心力や、形状が真球からずれるため)緯度に依存することによるずれで、最大で0.3%程度になるので、これについては、単純に緯度を指定するという解決法が提案されてたようである。重力加速度の高度依存性は、地表付近では、1kmにつき0.03%くらいの誤差なので、これも特に問題にはされてない。

論文には、seconds pendulumで長さを定義することは、HuygensとOle Rømerの示唆が最初だと書いてある(具体的な文献などは何も示されていない)。1668年のJohn Wilkinsの提案は、An Essay towards a Real Character and a Philosophical LanguageのChap VIIの記述を指しているものと思われる

2010-07-20

ころがるコインの安定性

転がるコインが倒れないのは、ジャイロ効果によると説明されるらしいけど、物理のセンス0のわたしにはジャイロ効果の説明を何度読んでもよく分からない。コマの場合と違って、きちんと方程式立てて計算してる文献がなかったので、一通り真面目に計算してみた。

座標として、
The Energy-Momentum Method for the Stability of Nonholonomic System
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.28.482
のFigure1.1で使われてるものを使用。コインの質量をM,半径をRとする。コインの厚みは無視、滑らないで転がると仮定する。

転がらないという条件から、コインと床の接触点Qの移動速度にnon-holonomicな拘束
$\dot{x_Q} + R \dot{\psi} \cos \phi = 0 , \dot{y_Q} + R \dot{\psi} \sin \phi = 0$
がはいる。重心Oについては
$(x_O,y_O,z_O) = (x_Q-R \sin \theta \sin \phi , y_Q + R \sin \theta \cos \phi , R \cos \theta)$
から、重心の運動エネルギーが計算できる。

で、
$(\omega_1 , \omega_2 , \omega_3) = (\dot{\theta} , \dot{\phi} \cos \theta , \dot{\psi} + \dot{\phi} \sin \theta)$
という変数を使うと、Lagrangianが
$L = \frac{MR^2}{2} (\omega_1^2+\omega_3^2) + \frac{1}{2}(A(\omega_1^2+\omega_3^2)+C\omega_3^2)-MgR \cos \theta$
と書ける。A,Cは慣性モーメント。これで、Euler-Lagrange方程式を計算すればよいと思いきや、それは間違った方程式を導くのだった。Euler角がまずいらしいけど、コマの場合とかは問題ないので、何がダメなのかはいまいちよくわからない。

仕方ないので、
http://ds0.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~tsaito/Advanced/PDF/advibration01.pdf
あたりを参考にしつつ、方程式を出す。結論としては、以下の4変数に関する4つの方程式が出る
$\dot{\theta} = \omega_1$
$(1+k)\dot{\omega_1} = -(1+2k)\omega_2\omega_3 +k\omega_2^2 \tan \theta + \frac{g}{R} \sin \theta$
$\dot{\omega_2} = 2\omega_1\omega_3 - \omega_1\omega_2 \tan \theta$
$(1+2k)\dot{\omega_3} = \omega_1\omega_2$

但し、
$(A,C)=(kMR^2 , 2kMR^2)$
とする。kは、1/4と決定できるけど、このままにしておく。

方程式が分かったので、安定性について調べる。
(1) $\dot{\phi}=\dot{\psi}=0$ の場合。コインは全く回転してない。方程式は
$(1+k)\ddot{\theta} = \frac{g}{R} \sin \theta$
となって、 $\theta=0$ は解になるけども、その近傍では不安定。これは当然

(2) $\dot{\psi}=0$ の場合。
$(1+k)\ddot{\theta} = (\frac{g}{R} -(1+k)\dot{\phi} \cos \theta) \sin \theta$
で、安定となりえる。これは、転がらずに、その場でスピンし続ける場合を表していると考えられる。回転速度が十分早ければ、倒れないというのは直感に反しない

(3)一般の場合。
$d/dt = \omega_1 d/d\theta$
から、 $\omega_2,\omega_3$ を $\theta$ の関数として解ける( $s=\tan \theta$ という変数変換をすると、超幾何型微分方程式になる)。で、結局、ある関数Gについて
$\ddot{\theta} = G(\theta)$
という形の方程式が残る。 $\theta$ が小さいと仮定して、Gを展開して、一次の係数の正負を見てやれば、安定・不安定は決定できるはず。

そんな感じだけれども、不満点として、
・方程式の導出が気に入らない
・結局どのへんがジャイロ効果なのかよく分からない。

余談。この変数について、方程式からPoisson括弧を決定しようと思ったけど、挫折。
$\{ \theta , \omega_1 \} = \frac{1}{1+k}$
$\{ \theta,\omega_2 \}=\{\theta,\omega_3\}=0$
$\{\omega_1,\omega_2\} = \frac{\tan \theta}{1+k}\omega_2 - \frac{2}{1+k} \omega_3 + (1+2k)F(\theta)\omega_3$
$\{\omega_2,\omega_3\} = (1+k)F(\theta)\omega_1$
$\{\omega_3,\omega_1\} = \frac{1}{(1+k)(1+2k)}\omega_2 + kF(\theta)\omega_2$
Fは、Jacobi恒等式から定数倍を除いて一意に決定できる関数で、0になると思うのだけど、本当かどうかは分からない。